HUKUM KEPLER

Karya Kepler sebagian dihasilkan dari data-data hasil pengamatan yang dikumpulkan Ticho Brahe mengenai posisi planet-planet dalam geraknya di luar angkasa. Hukum ini telah dicetuskan paman Kepler setengah abad sebelum eyang Newton mengajukan ketiga Hukum-nya tentang gerak dan hukum gravitasi universal. Di antara hasil karya Kepler, terdapat tiga penemuan yang sekarang kita kenal sebagai Hukum Kepler mengenai gerak planet.

Hukum I Kepler

Lintasan setiap planet ketika mengelilingi matahari berbentuk elips, di mana matahari terletak pada salah satu fokusnya.

Kepler tidak mengetahui alasan mengapa planet bergerak dengan cara demikian. Ketika mulai tertarik dengan gerak planet-planet, eyang Newton menemukan bahwa ternyata hukum-hukum paman Kepler ini bisa diturunkan secara matematis dari hukum gravitasi universal dan hukum gerak Newton. Eyang Newton juga menunjukkan bahwa di antara kemungkinan yang masuk akal mengenai hukum gravitasi, hanya satu yang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak yang konsisten dengan Hukum Kepler.

Perhatikan orbit elips yang dijelaskan pada Hukum I Kepler. Dimensi paling panjang pada orbit elips disebut sumbu mayor alias sumbu utama, dengan setengah panjang a. Setengah panjang ini disebut sumbu semiutama alias semimayor (sambil lihat gambar di bawah ya).

F₁ dan F₂ adalah titik Fokus. Matahari berada pada F₁ dan planet berada pada P. Tidak ada benda langit lainnya pada F₂. Total jarak dari F₁ ke P dan F₂ ke P sama untuk semua titik dalam kurva elips. Jarak pusat elips (O) dan titik fokus (F₁ dan F₂) adalah ea, di mana e merupakan angka tak berdimensi yang besarnya berkisar antara 0 sampai 1, disebut juga eksentrisitas. Jika e = 0 maka elips berubah menjadi lingkaran. Kenyataanya, orbit planet berbentuk elips alias mendekati lingkaran. Dengan demikian besar eksentrisitas tidak pernah bernilai nol. Nilai e untuk orbit planet bumi adalah 0,017. Perihelion merupakan titik yang terdekat dengan matahari, sedangakan titik terjauh adalah aphelion.

Pada Persamaan Hukum Gravitasi Newton, telah kita pelajari bahwa gaya tarik gravitasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak (1/r²), di mana hal ini hanya bisa terjadi pada orbit yang berbentuk elips atau lingkaran saja.

Contoh soal Hukum I Kepler :

Komet Halley bergerak sepanjang orbit elips mengitari matahari. Pada perihelion, komet Halley berjarak 8,75 x10⁷ km dari matahari, sedangkan pada aphelion berjarak 5,26 x 10⁹ km dari matahari. Berapakah sumbu semimayor dan eksentrisitas dari orbit komet halley

Panduan jawaban :

Panjang sumbu utama sama dengan total jarak komet ke matahari ketika komet berada di perihelion dan aphelion.

Panjang sumbu utama adalah 2a, dengan demikian :

Pada Perihelion, jarak komet Halley dengan matahari diperoleh dari (sambil perhatikan gambar di atas) :

a - ea = a(1-e)

Jarak komet Halley dengan matahari ketika komet Halley berada pada perihelion adalah 8,75 x10⁷ km. Dengan demikian, eksentrisitas komet Halley adalah :

Nilai eksentrisitas komet halley mendekati 1. Ini menunjukkan bahwa orbit halley sangat panjang….

Latihan Soal Hukum I Kepler :

Latihan soal 1 :

Ketika Pluto masih disebut planet pada sistem tata surya kita, pluto disebut sebagai planet terluar. Walaupun demikian, pada tahun 1989 pluto hampir 100 juta km lebih dekat ke matahari dibandingkan neptunus. Sumbu semimayor orbit pluto dan neptunus adalah 5,92 x 10¹² m dan 4,50 x 10¹² m. Eksentrisitas pluto adalah 0,248, sedangkan eksentrsitas neptunus adalah 0,010. hitunglah jarak terdekat pluto dari matahari dan jarak terjauh neptunus dari matahari. Berapa tahun lagi pluto akan kembali ke perihelion ?

Latihan soal 2 :

Salah satu komet yang paling terang pada abad dua puluh adalah komet Hyakutake. Komet tersebut melintas dekat matahari pada awal tahun 1996. periode orbit komet sekitar 30.000 tahun. Hitunglah sumbu semimayor dari orbit komet ini.

Hukum II Kepler

Luas daerah yang disapu oleh garis antara matahari dengan planet adalah sama untuk setiap periode waktu yang sama.

Hal yang paling utama dalam Hukum II Kepler adalah kecepatan sektor mempunyai harga yang sama pada semua titik sepanjang orbit yang berbentuk elips.

Latihan soal Hukum II Kepler :

1. Pada titik mana dalam orbit elips, percepatan gerak planet maksimum dan pada titik mana percepatannya minimum ? jelaskan secara panjang lebar
2. Benar atau salah-kah pernyataan berikut ini : planet memiliki laju maksimum pada aphelion dan lajunya minimum pada perihelion
3. bumi lebih dekat dengan matahari pada bulan november daripada bulan juni. Pada bulan apakah bumi bergerak lebih lambat dalam orbitnya ? jelaskan

Hukum III Kepler

Kuadrat waktu yang diperlukan oleh planet untuk menyelesaikan satu kali orbit sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet-planet tersebut dari matahari.

Jika T₁ dan T₂ menyatakan periode dua planet, dan r₁ dan r₂ menyatakan jarak rata-rata mereka dari matahari, maka

Eyang Newton juga menunjukkan bahwa Hukum III Kepler juga bisa diturunkan secara matematis dari Hukum Gravitasi Universal dan Hukum Newton tentang gerak dan gerak melingkar. Sekarang mari kita tinjau Hukum III Kepler menggunakan pendekatan eyang Newton.

Terlebih dahulu kita tinjau kasus khusus orbit lingkaran, yang merupakan kasus khusus dari orbit elips. Semoga dirimu belum melupakan Hukum Newton dan pelajaran Gerak Melingkar…

Kita tulis kembali persamaan Hukum II Newton :

Pada kasus gerak melingkar beraturan, hanya terdapat percepatan sentripetal, yang besarnya adalah :

Kita tulis kembali persamaan Hukum Gravitasi Newton :

Sekarang kita masukan persamaan Hukum Gravitasi Newton dan percepatan sentripetal ke dalam persamaan Hukum II Newton :

m₁ adalah massa planet, m_M adalah massa matahari, r₁ adalah jarak rata-rata planet dari matahari, v₁merupakan laju rata-rata planet pada orbitnya.

Waktu yang diperlukan sebuah planet untuk menyelesaikan satu orbit adalah T₁, di mana jarak tempuhnya sama dengan keliling lingkaran,2phir₁. Dengan demikian, besar v₁ adalah :

Kita masukan persamaan v₁ ke dalam persamaan di atas :

Misalnya persamaan 1 kita turunkan untuk planet venus (planet 1). Penurunan persamaan yang sama dapar digunakan untuk planet bumi (planet kedua).

T₂ dan r₂ adalah periode dan jari-jari orbit planet kedua. Sekarang coba anda perhatikan persamaan 1 dan persamaan 2. Perhatikan bahwa ruas kanan kedua persamaan memiliki nilai yang sama. Dengan demikian, jika kedua persamaan ini digabungkan, akan kita peroleh :

Kita juga bisa menurunkan persamaaan untuk menghitung besarnya periode gerak planet (T) dengan cara lain. Pertama terlebih dahulu kita turunkan untuk kasus gerak melingkar.

Sebelumnya kita telah mensubtitusikan persamaan Hukum Gravitasi Newton dan percepatan sentripetal ke dalam persamaan Hukum II Newton :

Pada pembahasan mengenai gerak melingkar beraturan, kita mempelajari bahwa laju v adalah perbandingan jarak tempuh dalam satu kali putaran dengan periode (waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu kali putaran), yang secara matematis dirumuskan sebagai berikut :

Kita subtitusikan nilai v pada persamaan laju untuk orbit lingkaran, ke dalam persamaan T :

Pada persamaan ini tampak bahwa periode dalam orbit lingkaran sebanding dengan pangkat 3/2 dari jari-jari orbit. Eyang Newton menunjukkan bahwa hubungan ini juga berlaku untuk orbit elips, di mana jari-jari orbit lingkaran (r) diganti dengan setengah sumbu utama a

DATA ASTRONOMI